Objektphotonen und optimale Belichtungszeit

Objektphotonen und optimale Belichtungszeit

Für die Astrofotografie ist es von Vorteil, wenn schon vor der Aufnahmesession bekannt wäre, wie viele Objektphotonen im Teleskop/auf dem Chip ankommen, und ob sich lohnt, ein Objekt mit dem verwendeten Teleskop aufzunehmen, und wenn ja, wie lange denn die Einzel- und Gesamtbelichtungszeit unter Verwendung von Filtern sein sollten. Die folgenden theoretischen Grundlagen und Berechnungen, die von den realen Ergebnissen etwas abweichen werden, dienen als grobe Orientierung, da viele Standort- und Systemfaktoren eine Rolle spielen und allgemeine Annahmen getroffen werden.

In der Astronomie hat sich für Objekthelligkeiten eine Referenz- oder auch Vergleichsmessung über das Magnitudensystem etabliert. Schon in der Antike haben die ersten Himmelsbeobachter die Sterne in Helligkeitsstufen eingeteilt. Je dunkler ein Stern wirkte, desto höher war seine Stufe. Dabei ist zu beachten, dass das menschliche Auge Helligkeiten logarithmisch wahrnimmt. (https://de.wikipedia.org/wiki/Weber-Fechner-Gesetz)

Daher sind die einzelnen Magnitudenstufen der scheinbaren Helligkeit eines Sterns auch einer logarithmischen Skala unterworfen, die von Norman Robert Pogson 1856 so definiert wurde, dass der wahrgenommene Helligkeitswert eines Sterns alle 5 Magnituden um den Faktor 100 abnimmt (https://de.wikipedia.org/wiki/Scheinbare_Helligkeit). Der Helligkeitsunterschied von einer Magnitudenstufe zur nächsten variiert somit um den Faktor ⁵√100 = 10^0,4 ≈ 2,512. Da die wahrgenommenen Helligkeiten in direktem Zusammenhang zum Photonenfluss stehen, kann über diesen Faktor auch ein Rückschluss auf den Photonenfluss der zu vergleichenden Sterne/Objekte gezogen werden.

Wird einem Referenzstern mit einer konstanten Leuchtkraft die Magnitudenstufe 0 zugewiesen (0^m‑Stern), lässt sich über die Magnitudenwerte der Sterne der Photonenfluss ermitteln.

Quelle: CactiStaccingCrane, CC0, via Wikimedia Commons (abgeändert)

In unseren Breitengraden wurde sich für den Stern Vega (Wega) als Referenzstern (0^m-Stern) entschieden. Durch die Ermittlung des Photonenflusses von Vega und der Kenntnis der Magnituden von anderen Sternen/Objekten, können diese in Relation zu Vega gesetzt und damit eine Aussage über Belichtungszeiten und das Signal-Rausch-Verhältnisse getroffen werden.

Um zu ermitteln, wie viele Photonen von einem Stern/Objekt auf die obere Schicht der Erdatmosphäre treffen, wird die Flussdichte der Photonen je Wellenlänge pro Zeit und Fläche vom Stern Vega benötigt.

Solche Werte lassen sich z.B. auf dieser Seite [https://www.stsci.edu/hst/instrumentation/reference-data-for-calibration-and-tools/astronomical-catalogs/calspec] unter den Archivdaten [https://archive.stsci.edu/hlsps/reference-atlases/cdbs/current_calspec/] in der Datei ‚alpha_lyr_stis_011.fits‘ finden.

Die angegebenen Werte werden dort in [^erg/_{cm² s Å}] angegeben (z.B. für 550 nm: 3,578*10^{-9 erg}/_{cm² s Å}, wobei ‚erg‘ für die Energie und ‚Å‘ für Ångström steht (1Å = 0,1 nm)).

Diese müssen nun so umgewandelt werden, dass daraus [^Photonen/_{m² s nm}] werden.

Unter [https://books.google.de/books?id=UC_1_804BXgC&pg=PA29&lpg=PA29&dq=converting+bandwidth+to+wavelength+jansky&source=bl&ots=IW4FpmnEIE&sig= 6PdaCx7NtjPebUYCupYNGIjBVgw&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=true] ist diese Formel dazu aufgeführt:

Sie ist aber etwas irreführend, da hier die Einheit Jansky [Jy] eingeführt wird. Dies ist aber nichts anderes als: (https://de.wikipedia.org/wiki/Jansky)

Somit lässt sich die Formel folgendermaßen umformulieren:

wobei c die Lichtgeschwindigkeit in [^m/_s] ist.

Wird die Photonenflussdichte also mit 10⁷ * c multipliziert und anschließend durch das Quadrat der Frequenz der jeweiligen Wellenlänge (in diesem Beispiel 550 nm, wobei f = ^c/_λ) dividiert, ergibt dies einen Wert in ^W/_{m² Hz}.

Um die Einheit jetzt in die Zahl der Photonen je Fläche und Sekunde umzuwandeln, wird für 1W = 1^J/_s eingesetzt.

Zusätzlich wird für die Beziehung 1J = 1,509 * 10³³Hz angewendet, was aus der direkten linearen Proportionalität der Photonenenergie zur Frequenz der entsprechenden Wellenlänge resultiert. Je höher die Frequenz ist, desto höher ist die Energie. Wird der Wert der Energie durch die entsprechende Frequenz geteilt, ergibt dies den Faktor 1,509 * 10³³Hz.

Wird der Wert also mit 1,509 * 10³³Hz multipliziert, ergibt das einen Wert in [^Photonen/_{m² s}].

Da jede Flussdichte einer entsprechenden Wellenlänge zugeordnet ist, muss das Ergebnis auch noch einmal durch die jeweiligen Wellenlängen geteilt werden (in diesem Zahlenbeispiel 550 nm) und es wird ein Wert in [^Photonen/_{m² s nm}] errechnet.

Dies kann nun für jede gemessene Frequenz (Wellenlänge) durchgeführt werden, und es ergibt sich anschließend ein solches Diagramm für den Stern Vega.

Es ist zu erkennen, dass die Photonenflussdichte mit der Wellenlänge variiert. Um nun eine allgemeine Aussage zu treffen, wie viele Photonen aus dem für den Menschen sichtbaren Spektrum auf den Kamerachip ankommen, müsste für jeden Kamerachip (z.B. siliziumbasierte oder Indium-Gallium-Arsenid-basierte Chips) die Empfindlichkeitskurve hinzugezogen werden, und es wäre damit noch nicht geklärt, welche Photonen vielleicht aus einem anderen Spektrum kommen. Da dies somit nicht einfach zu lösen ist, kann stattdessen näherungsweise eine durchschnittliche Photonenflussdichte über spezielle Abschnitte im Wellenlängenbereich mit Hilfe von Filtern ermittelt werden.

Besonders etabliert hat sich hier die Filtereinteilung nach Johnson/Bessel. Johnson entwickelte in den 1950er Jahren drei Filter U (ultraviolett), B (blau), und V (visuell), die das elektromagnetische Spektrum in drei Bereiche einteilt (https://de.wikipedia.org/wiki/UBV-System). M. S. Bessel erweiterte dieses System dann noch mit einem R (rot) und I (infrarot) Filter.

Quelle: https://sites.astro.caltech.edu/~george/ay122/Bessel2005ARAA43p293.pdf (Seite 305, Table 1)

Vorlage: https://www.baader-planetarium.com/de/blog/coming-soon-neue-baader-sloan-sdss-ugriz-fotometrische-filter/ und https://www.astroshop.de/l-rgb-filter/baader-ubvri-photometric-johnson-bessel-v-filter-4mm-/p,68633

Diese Filter wurden über die Zeit ein wenig angepasst (z.B. von Kron/Cousin im R und I Bereich https://qd-europe.com/de/de/produkt/astronomyuvbri-filters/), so dass immer mal wieder andere Werte in der Literatur zu finden sind.

M. S. Bessel hat 1979 ein Dokument veröffentlicht, in dem er die Photonenflussdichte von Vega zu den effektiven Wellenlängen der UBVRI-Filter ermittelt hat. (https://iopscience.iop.org/article/10.1086/130542/pdf, Seite 598, Table IV)
Diese Werte dienen seitdem als Referenz für sehr viele Dokumente und Veröffentlichungen.

Im weiteren Verlauf werden trotz der Popularität der Werte von Bessel die sehr viel aktuelleren Messdaten vom STScI verwendet, die sich aber nur leicht von denen von Bessel unterscheiden.

Aus der oben gezeigten Umrechnung lassen sich hier nun wieder die ankommenden Photonen ermitteln. Um am Ende von der Wellenlänge unabhängig zu sein (da über einen kleinen Wellenlängenbereich näherungsweise integriert wird), muss für den jeweiligen UBVRI-Filter noch mit der entsprechenden Filterbandbreite multipliziert werden, und es wird als gute Integralnäherung die Anzahl der Photonen ermittelt, die beim jeweiligen Filter pro m² und s auf die Erdatmosphäre treffen.

Mit diesen Werten kann nun ein Rückschluss auf die Photonenzahl von anderen Objekten gezogen werden.

Werden die Photonen aus den drei Bändern B, V und R summiert, ergibt dies 31.725.932.744 Photonen für einen 0^m-Stern, die pro Sekunde auf 1 m² der Erdatmosphäre treffen. Über die nachfolgende Formel können anschließend die auf der oberen Erdatmosphärenschicht erwartbaren Photonen für Sterne/Objekte mit verschiedenen Magnitudenwerten ermittelt werden. (https://en.wikipedia.org/wiki/Magnitude_(astronomy))

Wobei Flux_ref die Photonenflussdichte von Vega und m_ref die Magnitude von Vega mit m_ref = 0 im gewünschten spektralen Bereich ist.

Photonenanzahl in Abhängigkeit der scheinbaren Helligkeit des Sterns

Als nächster Schritt wird gezeigt, in welchem Maße die Erdatmosphäre die Photonenzahl beeinflusst, und wie viele Photonen tatsächlich im Teleskop und auf dem Chip ankommen.

Durchlaufen die Photonen unsere Atmosphärenschicht, werden sie von drei wesentlichen Faktoren beeinflusst. (https://adsabs.harvard.edu/full/1975ApJ...197..593H&data_type=PDF_HIGH&type=PRINTER&filetype=.pdfInstrumentacin)

      I)      Rayleigh-Streuung an Luftmolekülen

Bei der Rayleigh-Streuung treffen die Photonen auf Moleküle, deren Durchmesser im Vergleich zur Wellenlänge viel kleiner ist. (https://de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Streuung)

Je kürzer die Wellenlänge ist, desto wahrscheinlicher interagiert ein Photon mit einem Molekül. Daher reagieren die Photonen im blauen Spektrum häufiger mit den Molekülen und werden in der Atmosphäre gestreut. Dies führt dazu, dass uns bei Tag der Himmel blau und die Sonne gelblich erscheinen.

Die Reduzierung der Helligkeit (Erhöhung der Magnitudenzahl) eines Objekts in Abhängigkeit der Wellenlänge λ [µm] und der Beobachtungshöhe h [km] durch die Rayleigh-Streuung lässt sich wie folgt berechnen: (https://adsabs.harvard.edu/full/1975ApJ...197..593H&data_type=PDF_HIGH&type=PRINTER&filetype=.pdfInstrumentacin)

      II)      Molekulare Absorption in der unteren Stratosphäre innerhalb der Ozonschicht

Verglichen mit den anderen Faktoren hat die molekulare Absorption in der Ozonschicht einen geringen Einfluss und wird daher für alle Wellenlängen und Höhen nach dieser Vorgabe (http://www.icq.eps.harvard.edu/ICQExtinct.html) wie folgt festgesetzt:

      III)      Aerosolstreuung durch Schwebeteilchen

Atmosphärische Aerosole stammen aus vielen Quellen, z. B. aus der Gischt des Meeres, aus windgetragenem Wüstenstaub oder aus Baumpollen. Sie variieren auf komplizierte Weise, die sich nur schwer genau vorhersagen lässt. Dennoch gibt es eine Reihe von Tendenzen, die dazu verwendet werden können, eine sinnvolle Schätzung des Aerosoleinflusses abzugeben. (https://www.uai.it/pianeti/wp-content/uploads/2021/03/ppr_Sch93-1.pdf)

Die Berechnung erfolgt dabei wie folgt: (http://www.icq.eps.harvard.edu/ICQExtinct.html)

wobei für die folgenden Variablen diese Durchschnittswerte angenommen werden (http://www.icq.eps.harvard.edu/ICQExtinct.html):

A₀ = 0,05 (Partikelfaktor, grober Durchschnittswert)
α₀ = 1,3 (Wellenlängenkoeffizient, Wert gewählt nach Veröffentlichungen von A. Ångström (1961) https://a.tellusjournals.se/articles/3401/files/656f1b5418dab.pdf (Seite 215, linke Spalte unten))
H = 1,5 km (Skalenhöhe, wird gewöhnlicherweise bei der Berechnung der Aerosolstreuung mit diesem Wert angesetzt, z.B. B. E. Schaefer (1993) https://www.uai.it/pianeti/wp-content/uploads/2021/03/ppr_Sch93-1.pdf (Seite 316, Tabelle 3))

In allen drei Formeln taucht die Einheit [^mag/_Luftmasse] auf. Die Luftmasse (Air Mass (AM)) entspricht dabei der Weglänge des Lichts durch die Atmosphäre, wobei der kürzeste Weg im Zenit (senkrecht zur Erdoberfläche) auf den Wert ‚1‘ normiert ist. (https://de.wikipedia.org/wiki/Luftmasse_(Astronomie))

Für die Luftmassenermittlung gilt näherungsweise folgende Formel, wenn angenommen wird, dass die Atmosphäre eine konstante Dichte und somit eine Ersatz-Atmosphäre ‚y_atm‘ mit einer Schichtdicke von 8,5 km hat (https://en.wikipedia.org/wiki/Air_mass_(astronomy)). In der Formel ist auch die Abhängigkeit zur Höhe des Beobachters und des Objektwinkels Z vom Zenit aus berücksichtigt.

wobei:

R_E = 6.375 km (Erdradius)
y_obs – Standorthöhe des Beobachters über dem Meeresspiegel
y_atm = 8,5 km (Dicke einer Ersatz-Atmosphäre, mit der eine konstanter Dichte „simuliert“ wird, die der Dichte unserer Atmosphäre entspricht)
Z – Winkel des beobachteten Objekts vom Zenit aus gemessen

Dies ergibt bei einigen Beispielhöhen einen solchen Zusammenhang:

Für einen Beobachter auf Meereshöhe hat die Luftmasse im Zenit den Wert 1. Bei einem Objektwinkel von ca. 42° über dem Horizont steigt die Luftmasse auf das 1,5-fache, um dann bei 30° über dem Horizont auf das Doppelte zu steigen.

Das heißt, dass unsere atmosphärischen Extinktionen bei Beobachtungen auf Meereshöhe um das Zweifache zunehmen, wenn in einem Winkel von 30° über dem Horizont beobachtet wird.

Wird die Betrachtung der Luftmasse nun mit den drei Formeln zur Bestimmung der atmosphärischen Extinktion verknüpft, ergeben sich beispielsweise die folgenden Werte für die drei Bänder B, V und R für einen Beobachter auf Meereshöhe:

Atmosphärische Extinktion in [mag] in Abhängigkeit des Objektwinkels im B-Band (bei 436 nm)

Atmosphärische Extinktion in [mag] in Abhängigkeit des Objektwinkels im V-Band (bei 545 nm)

Atmosphärische Extinktion in [mag] in Abhängigkeit des Objektwinkels im R-Band (bei 641 nm)

Der Helligkeitsabfall in der Atmosphäre ist somit gleichzusetzen mit dem „Verlust“ der Photonen, die nicht mehr auf den Chip treffen und muss demnach in einer Formel mitberücksichtigt werden. Dabei wird zur Vereinfachung angenommen, dass innerhalb eines Bandes die Verluste konstant sind.

Eine Formel, die die Photonenanzahl eines beliebigen Sterns in der Brennebene eines Teleskops bestimmt, wurde z.B. von D. J. Schroeder im Jahr 2000 veröffentlicht.

Quelle: Schroeder, D. J. (2000). Astronomical Optics (2. Auflage) (Seite 435, Formel 17.3.1.). Academic Press

wobei:

S – Photonenfluss in der Brennebene in [^Photonen/_s]
N₀ – Beleuchtungsstärke eines 0^m-Sterns (Vega) im gesuchten Frequenzband in [^Photonen/_{cm² s nm}]
T – Transmissionsfaktor der Atmosphäre und der Optik (Linsen- und Spiegelflächen)
D – Teleskopöffnung in [cm]
ε – Obstruktion des Teleskops in [^%/₁₀₀]
Δλ – Bandbreite des Filters, der zur Aufnahme verwendet wird in [nm]
m – Magnitude des Sterns im entsprechenden Frequenzband

Diese Formel gilt für Punktquellen, wie es Sterne sind, und es wird näherungsweise davon ausgegangen, dass die ermittelten Photonen für ‚N₀‘ innerhalb des jeweiligen Frequenzbandes gleichverteilt sind.

Für ausgedehnte Objekte muss in der Formel noch die auf den Himmel projizierte Detektorfläche in Quadratbogensekunden berücksichtigt werden (Quelle: Schroeder, D. J. (2000). Astronomical Optics (2. Auflage) (Seite 441, Formel 17.5.4.). Academic Press). Da ermittelt werden soll, wie viele Elektronen in einem Pixel ausgelöst werden sollen, ist die Detektorfläche die Pixelfläche. Um diese Projektion auszudrücken, ist das demnach der Abbildungsmaßstab in [^"/_Pixel] (siehe Abschnitt ‚Grundlagen‘ – ‚Teleskop-Kamera-Kombination‘ – ‚Abbildungsmaßstab‘) der quadriert und mit der obigen Formel multipliziert wird. Im Abbildungsmaßstab fließt auch die Brennweite mit ein.

Ein weiterer Faktor, der bei der Umwandlung der auf ein Pixel auftreffenden Photonen in Elektronen einen Einfluss hat, ist die Quanteneffizienz QE des Chips und der eingestellte Verstärkungsfaktor (Gain). Beim Verstärkungsfaktor wird nicht die Zahl des Gain eingetragen, sondern die Zahl, der sich aus dem Datenblatt ergebenden Elektronen, die benötigt werden, um ein ADU (Analog-Digital-Unit) „auszulösen“. Dadurch ändert sich auch die Full Well Capacity und das Ausleserauschen.

Quelle: https://www.zwoastro.com/product/asi294/ (bearbeitet)

Zusätzlich muss beachtet werden, dass bei heutigen RGB-Filtern und auch bei einer Bayermatrix die Transmissionswerte meistens höher als bei den Johnson-Bessel-Filtern liegen, die für die Referenzbestimmung verwendet wurden. Dies führt vor allem im B‑Band zu mehr Photonen als beim Johnson-Bessel B-Band-Filter.

Vorlage: https://www.baader-planetarium.com/en/filters/photometric-filters/baader-ubvri-bessel-r-filter-photometric.html und https://www.astroshop.de/l-rgb-filter/optolong-lrgb-filter-set-2-/p,67534

Die Flächen unter den jeweiligen Kurven stimmen für das V- und R-Band annähernd überein. Um die Photonenflüsse (aus Referenzbestimmung und aus eigenem System) im B-Band besser ins Verhältnis setzen zu können, sollte noch ein Faktor von rund 1,2 (97% / 80%) für die Photonenflussdichte N₀ (Beleuchtungsstärke) angewendet werden.

Durch die genannten Einflussfaktoren ändert sich die Formel wie folgt:

wobei:

S – erzeugte Elektronen in [^e-/_{Pixel s}]
N₀ – Beleuchtungsstärke eines 0^m-Sterns (Vega) im gesuchten Frequenzband in [^Photonen/_{cm² s nm}]
T – Transmissionsfaktoren der Atmosphäre, Filter und der Optik (Linsen- und Spiegelflächen)
QE – Quanteneffizienz der Kamera im entsprechenden Frequenzband (aus Datenblatt)
g – Verstärkungsfaktor
D – Teleskopöffnung in [cm]
ε – Obstruktion des Teleskops in [^%/₁₀₀]
P – Pixelgröße des Chips in [µm]
f – Brennweite des Teleskops in [mm]
Δλ – Bandbreite des Filters, der zur Aufnahme verwendet wird in [nm]
m – Flächenhelligkeit des Sterns/Objekts/Himmelhintergrunds im entsprechenden Frequenzband

Die Flächenhelligkeit des Objekts (eigentlich [^mag/_arcsec²]) wird dabei ohne Maßeinheit eingesetzt, da hier die Photonenflussdichte eines Himmelsflecks mit der Größe von einer Quadratbogensekunde (arcsec²) betrachtet wird. (Quelle: Fachliche Diskussion mit Frank (freestar8n) vom Forum Cloudy Nights)

In der Formel wird innerhalb eines bestimmten Frequenzbandes (B, V oder R) die Flächenhelligkeit ‚m‘ eines Objekts (und damit die Photonenflussdichte) mit der Photonenflussdichte ‚N₀‘ eines 0^m‑Sterns über eine gewisse Bandbreite ‚Δλ‘ verglichen und abgeschätzt. Dabei wird angenommen, dass der Referenzstern innerhalb der Bandbreite ‚Δλ‘ die Photonen je Wellenlänge gemittelt annähernd gleichmäßig emittiert.

Durch dieses Vorgehen kann die Formel aber nur auf breitbandige Quellen wie Galaxien, Kugelsternhaufen oder das Himmelsleuchten angewandt werden. Für Emissionslinienquellen, die nur eine oder einige wenige Wellen einer bestimmten Wellenlänge emittieren (z.B. Hα und / oder OIII) würde dieses Vorgehen zu einem widersprüchlichen Ergebnis führen. Wird in die Formel die Bandbreite eines Schmalbandfilters für eine Emissionslinienquelle eingesetzt, würde dies vortäuschen, dass Objektphotonen, die über die Flächenhelligkeit in die Gleichung eingehen, begrenzt werden, obwohl der Schmalbandfilter genau diese Photonen des Emissionsnebels durchlässt.
Für das breitbandige Himmelsleuchten ist dieser Effekt hingegen genau richtig. Die Photonen des Himmelhintergrunds werden durch den Schmalbandfilter begrenzt, und das Objekt, das bei dieser Filterbandbreite emittiert, wird dadurch kontrastreicher dargestellt.

Für eine einzelne Emissionslinie wird eine Kombination aus ‚N₀‘ und ‚Δλ‘ benötigt, die die tatsächlich empfangenen Photonenflussdichte ergibt. Ist ‚N₀‘ groß oder befindet sich weit von der Wellenlänge der Emissionslinie entfernt, muss ‚Δλ‘ entsprechend angepasst werden. (Quelle: Schroeder, D. J. (2000). Astronomical Optics (2. Auflage) (Seite 442). Academic Press) Dabei wird ‚Δλ‘ lediglich als Korrekturfaktor verwendet, um den Gesamtfluss auf den richtigen Wert zu bringen. (Quelle: Fachliche Diskussion mit Frank (freestar8n) vom Forum Cloudy Nights)

Da dies nicht ohne angemessen großen Aufwand zu realisieren ist, müssen andere Vorgehen gewählt werden.

Vorgehen bei breitbandigen Objekten:

Um die atmosphärische Extinktion in [mag] als Transmissionsfaktor in der Formel auszudrücken, muss die logarithmische Magnitudenskala berücksichtigt werden. Wie zu Beginn schon erläutert, reduziert sich der Photonenfluss bei einem Anstieg der Magnitude um 1 um den Faktor 10^0,4. Daher wird für die Umwandlung von einer Magnitude in einen Transmissionsfaktor folgende Formel verwendet, bei der das Verhältnis der Photonenflüsse berücksichtigt wird: (https://en.wikipedia.org/wiki/Apparent_magnitude)

Für Δm kann hierbei der Wert der atmosphärischen Extinktion in [mag] eingesetzt werden.

Es ist zu beachten, dass in der Formel für ein flächiges Objekt der Wert der scheinbaren Helligkeit ‚m‘ als Fläche von [^mag/_arcsec²] angegeben werden muss. Soll ein Stern als Punktquelle in dieser Formel verwendet werden, kann dieser über das Seeing als Fläche betrachtet werden, oder es wird die Ausgangsformel genutzt.

Um von der scheinbaren Helligkeit zu einer Flächenhelligkeit zu gelangen, wird diese Formel verwendet: (https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chenhelligkeit)

wobei:

m – scheinbare Helligkeit des Sterns/Objekts
A – Scheinbare Größe (Fläche am Himmel) des Sterns/Objekts in [arcsec²]

Mit der Formel von D. J. Schroeder lassen sich sowohl diejenigen Elektronen, die von einem Objekt ausgelöst, als auch die Elektronen, die durch den Himmelshintergrund erzeugt werden, ermitteln. Die Bestimmung der durch den Himmelshintergrund erzeugten Elektronen ist wichtig, um abschätzen zu können, wie lange belichtet werden kann, um hintergrundlimitierte Aufnahmen zu erhalten. Es sollte nämlich nur so lange belichtet werden, dass die Photonen des Himmelhintergrunds (die als Rauschen eingehen) gegenüber den Objektphotonen nicht dominieren. Der Hintergrund limitiert damit die Belichtungszeit, die mit folgender Formel bestimmt werden kann: (Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=3RH93UvP358, ab Minute 49:00)

wobei:

t_H – Hintergrundlimitierte Belichtungszeit
R_A – Ausleserauschen der Kamera (aus Datenblatt)
S_H – Elektronenrate durch Lichtverschmutzung (durch Himmelshintergrund erzeugte Elektronen pro Pixel und Sekunde) in [^e-/_{Pixel s}]

C ist hierbei ein Faktor in den einbezogen wird, wie viel prozentuale Abweichung E von einem unvermeidbaren kleinstmöglichen Rauschen noch zugelassen werden soll.

E sollte hierbei laut Dr. Robin Glover zwischen 1% und 10% betragen. (Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=3RH93UvP358, ab Minute 49:30)

Die durch das Himmelsleuchten erzeugten Photonen gehen als Rauschanteil S_H in die Berechnung für das Signal-Rausch-Verhältnis ein (siehe Abschnitt ‚Grundlagen‘ – ‚Physikalische Größen‘ – ‚Rauschen‘)

wobei:

SNR – Signal-Rausch-Verhältnis
N_P – Anzahl der Einzelaufnahmen
S_P – Signalelektronen des Objekts
t – Einzelbelichtungszeit
S_P * t ist das Photonenrauschen des Objekts
S_H * t ist das Photonenrauschen des Himmelhintergrunds
S_D * t ist das Dunkelstromrauschen
R_A – Ausleserauschen der Kamera (aus Datenblatt)

Wird bei dieser Formel ein Signal-Rausch-Verhältnis vorgegeben und für t die hintergrundlimitierte Belichtungszeit t_H verwendet, kann die Formel nach N_P umgestellt werden, und es wird somit die benötigte Anzahl hintergrundlimitierter Aufnahmen bei einer bestimmten Belichtungszeit mit vorgegebenem Signal-Rausch-Verhältnis berechnet. Es kann aber auch eine kürzere Zeit als t_H gewählt werden.

Die Angabe eines geeigneten Signal-Rausch-Verhältnisses bei der Astrofotografie ist nicht ganz einfach. Helle Objekte, wie die Zentren von Galaxien, erreichen schnell ein hohes SNR, wohingegen der dunkle Himmelshintergrund sehr viele Aufnahmen für ein rauscharmes Erscheinungsbild benötigt. Generell sollte bei der Astrofotografie mindestens ein SNR von 3 erzielt werden. Alles ab einem SNR von 10 - 20 ergeben schon zufriedenstellende Aufnahmen.
Mitunter kommt es vor, dass sehr helle Objektzentren ausbrennen, während die restlichen Bereiche noch lange belichtet werden könnten. Sind Helligkeitswerte für einzelne Bereiche bekannt, kann überprüft werden, ob bei der verwendeten Verstärkung und hintergrundlimitierter Belichtungszeit die Full Well Capacity überschritten wurde. Hierfür müssen alle Photonen, die auf ein Pixel treffen und verantwortlich für das Füllen des Pixelspeichers sind, über die Belichtungszeit addiert werden. Das Ausleserauschen kommt hierbei nicht hinzu, da es erst beim Auslesen und nicht beim Füllen des Pixelspeichers auftritt. (siehe Abschnitt ‚Grundlagen‘ – ‚Physikalische Größen‘ – ‚Rauschen‘)

wobei:

S_FWC – Gesamtanzahl der im Pixel erzeugten Elektronen
S_P – Signalelektronen des Objekts
S_H – Signalelektronen des Himmelhintergrunds
S_H – Signalelektronen des Dunkelstroms
t – Einzelbelichtungszeit (meist hintergrundlimitierte Belichtungszeit t_H)

Zusammenfassung der Vorgehensweise für breitbandige Objekte:

1)   Berechnung der Elektronen des Himmelhintergrunds mittels folgender Formel:

wobei für m_H der Wert der Flächenhelligkeit der Lichtverschmutzung eingesetzt wird.
Bei den Werten für das Himmelsleuchten von https://www.lightpollutionmap.info, durchquert das Licht nicht mehr die Atmosphäre
(https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0108052). Daher spielt in der Formel für ‚T‘ nur noch die Transmission der Optik eine Rolle.

2)   Berechnung der Objektelektronen mittels folgender Formel:

wobei für m_P der Wert der Flächenhelligkeit des Objekts eingesetzt wird.

3)   Einsetzen der Elektronenzahl des Himmelhintergrunds von 1) in folgende Formel, um die Belichtungszeit für hintergrundlimitierte Aufnahmen zu ermitteln:

4)   Berechnung der benötigten Bilderanzahl für hintergrundlimitierte Aufnahmen und vorgegebenen SNR, wenn S_H, S_P und t_H in folgende Formel eingesetzt werden:

5)   Überprüfung, ob bei der verwendeten Verstärkung und hintergrundlimitierter Belichtungszeit die Full Well Capacity überschritten wurde:

Beispiel 1: (Messier 33 mit einem Newton-Teleskop und einer Monokamera mit LRGB-Filtersatz)
Beispiel 2: (Messier 33 mit einem Newton-Teleskop und einer Farbkamera (OSC))

Vorgehen bei Objekten, die im Schmalbandbereich emittieren:

Wie schon beschrieben, kann die Formel von Schroeder für Emissionslinien-Objekte nicht problemlos verwendet werden. Daher muss ein anderes Vorgehen angewandt werden.

Hilfreich ist es, wenn direkt Angaben für die Photonenflüsse der einzelnen Wellenlängen angegeben sind. Solche Angaben existieren z.B. für Planetarische Nebel. Für Emissionsnebel fehlen bisher solche Datenbanken, und es gibt bislang meist nur Magnitudenangaben im visuellen Bereich (V-Band), obwohl sie aber oft bei mehreren Wellenlängen (z.B. Hα und OIII) emittieren. Es kann daher nur sehr grob abgeschätzt werden, wie viele Photonen von welcher Wellenlänge stammen, um zu ermitteln, wie lange und mit welchem Filter belichtet werden muss.

Im Bereich der Hα-Linie (656 nm) liegt die Transmission des V-Band-Filters noch bei ca. 5%. Das heißt, dass nur 5% der Hα-Photonen den Chip erreichen. Im OIII Bereich (501 nm) sind es noch 76%.

Es gilt für die Emissionslinienfilter ganz grob folgende Übersicht:

Das folgende Bild zeigt beispielhaft die Ermittlung der Prozentzahlen für OIII und Hα:

Vorlage: https://www.baader-planetarium.com/en/filters/photometric-filters/baader-ubvri-bessel-r-filter-photometric.html und https://www.astroshop.eu/l-rgb-filters/baader-filters-ubvri-photometric-johnson-bessel-v-filter-4mm-/p,68633

Wie am Anfang aufgeführt, hat ein 0^m-Referenzstern im V-Band eine Photonenflussdichte von 8.443.532.998 [^Photonen/_{s m²}].

Über die zu Beginn gezeigte Formel 10^-0,4*m = ^Flux / Flux_ref kann relativ zum Referenzstern (0^m-Stern) über die Magnitudenangabe (welche mit dem Referenzfiltersystem ermittelt wurde) bestimmt werden, wie viele Photonen der entsprechend im V-Band wirksamen Emissionslinien zusammen auf den Chip gelangen, nachdem sie den Filter passiert haben.

Da bei der Verwendung von Schmalbandfiltern die Photonen aber nicht in dem Maße limitiert werden, wie es beim V-Band Filter der Fall ist, ist es wichtig zu wissen, wie viele Photonen der Emissionsnebel ursprünglich emittiert hat.

Wird davon ausgegangen, dass ausschließlich die Photonen der im V-Band wirksamen Emissionslinien den V-Magnitudenwert bestimmt haben, kann der auf den Chip ankommende Photonenfluss zurückgerechnet werden, und es kann somit ermittelt werden, wie viele Photonen der Nebel emittiert. (Quelle: Fachliche Diskussion mit Frank (freestar8n) vom Forum Cloudy Nights)

Hierfür muss aus Erfahrungswerten oder aus Aufnahmen des Nebels lediglich abgeschätzt werden, in welchem Verhältnis der Nebel die Photonen der einzelnen Emissionslinien emittiert. Um dies verständlicher zu machen, soll folgende Grafik am Beispiel eines Emissionsnebels helfen, der OIII- und Hα-Photonen emittiert:

Mit dem gleichen Vorgehen können auch die anderen beiden Bänder (B und R) betrachtet werden, und es lassen sich aus diesem Zusammenhang nun Formeln ableiten, um die Photonenflussdichte der einzelnen Emissionslinien zu bestimmen:

Allgemein gilt:

wobei:

N₀ – Beleuchtungsstärke eines 0^m-Sterns (Vega) im gesuchten Frequenzband in [^Photonen/_{s cm²}]
m – scheinbare Helligkeit des Objekts
T_λB – Transmissionswerte der betrachteten Emissionslinien im entsprechenden Frequenzband
r_λB – festgelegte Verhältniszahlen der wirksamen Emissionslinien im betrachteten Frequenzband
r_λ – festgelegte Verhältniszahl der gesuchten Emissionslinie
Σr_λB – Summe der Verhältniszahlen aller wirksamen Emissionslinien im betrachteten Frequenzband

Fall 1 (Angabe der Magnitude im B-Band):

Im B-Band wirken die Emissionslinien HeII, Hβ und OIII. Diese müssen ins Verhältnis zueinander gesetzt werden. Die Summe der Verhältniszahlen muss ‚1‘ (entspricht 100%) ergeben.

Fall 2 (Angabe der Magnitude im V-Band):

Im V-Band wirken die Emissionslinien Hβ, OIII, HeI, Hα, NII und SII. Diese müssen zueinander ins Verhältnis gesetzt werden. Die Summe der Verhältniszahlen muss ‚1‘ (entspricht 100%) ergeben.

Fall 3 (Angabe der Magnitude im R-Band):

Im R-Band wirken die Emissionslinien HeI, Hα, NII und SII. Diese müssen ins Verhältnis zueinander gesetzt werden. Die Summe der Verhältniszahlen muss ‚1‘ (entspricht 100%) ergeben.

Beispiel:

Gegeben sei ein Emissionsnebel mit mag_V = 9. Er emittiert schwach bei OIII und stark im Hα-Bereich mit einem Verhältnis von 0,25 : 0,75.

Diese Werte können nun weiterverwendet werden. Zu beachten ist, dass dies die hochgerechnete Anzahl an Photonen ist, die der Nebel direkt emittiert. Für die weitere Berechnung kann eine abgewandelte Form von Schroeders Gleichung verwendet werden, jedoch muss nun die Transmission des Schmalbandfilters mitberücksichtigt werden.

Liegen aber wie bei den Planetarischen Nebeln bereits die Photonenflüsse der einzelnen Wellenlänge in Datenbanken vor, kann folgende Vorgehensweise zur Anwendung kommen, um eine grobe Abschätzung über die Belichtungszeit und die benötigte Anzahl der Bilder für ein gewünschtes SNR zu erhalten.

Datenbanken für die Photonenflüsse für Planetarische Nebel sind unter folgenden Angaben zu finden:

• In dem Dokument https://arxiv.org/pdf/1211.2505 werden sehr viele Hα-Flusswerte von Planetarischen Nebeln angegeben, die auch online in der Vizier-Datenbank gesucht werden können:
  https://vizier.cds.unistra.fr/viz-bin/VizieR-3?-source=J/MNRAS/431/2/fluxes&-out.max=50&-out.form=HTML%20Table&-out.add=_r&-out.add=_RAJ,_DEJ&-sort=_r&-oc.form=sexa

• Eine weitere Quelle für Photonenflüsse der unterschiedlichen Wellenlängen ist hier zu finden:
  http://www.eso.org/sci/libraries/historicaldocuments/Strasbourg-ESO_catalogue/Strasbourg-ESO_Catalogue_of_Galactical_Planetary_Nebulae_Part_I.pdf
  http://www.eso.org/sci/libraries/historicaldocuments/Strasbourg-ESO_catalogue/Strasbourg-ESO_Catalogue_of_Galactical_Planetary_Nebulae_Part_II.pdf
  Auch diese sind online in der Vizier-Datenbank aufgelistet:
  https://vizier.cds.unistra.fr/viz-bin/VizieR-3?-source=V/84/hbeta
  https://vizier.cds.unistra.fr/viz-bin/VizieR-3?-source=V/84/intens
  Dabei bildet die Photonenflussdichte einer Emissionslinie (meist Hβ (486 nm), selten auch Hα (656 nm)) die Bemessungsgrundlage und wird mit 100% normiert. Alle anderen Emissionslinien sind dann im Verhältnis von ganzen Zahlen zu dieser Emissionslinie angegeben.

• Unter https://web.williams.edu/Astronomy/research/PN/nebulae/search/index.php#galactic_milky_way sind die Spektrallinien vieler Planetarischer Nebel grafisch dargestellt, und die Photonenflüsse können in [^erg/_{cm² s Å}] abgelesen werden.

Bei den ersten beiden Literaturquellen sind die Photonenflüsse in [^mW/_m²] angegeben, was äquivalent zu [^erg/_{cm² s}] ist. (http://www.eso.org/sci/libraries/historicaldocuments/Strasbourg-ESO_catalogue/Strasbourg-ESO_Catalogue_of_Galactical_Planetary_Nebulae_Part_I.pdf (Seite 8, Abschnitt b))
Der Emissionslinienwert gibt also an, mit welcher Energie die Photonen pro Sekunde auf einen cm² der Erdatmosphäre auftreffen.

Die Photonenflüsse sind im Logarithmus angegeben und können über die folgende Beziehung umgewandelt werden:

Für die weiteren Berechnungen werden die Werte jedoch in [^Photonen/_{cm² s}] benötigt. Hierfür kann der zu Beginn gezeigte Umrechnungsweg gewählt, oder die folgende Formel verwendet werden: (https://www.pveducat...ght/photon-flux)

wobei:

h = 6,62607015 * 10^-34 Ws² – Plancksches Wirkungsquantum
c = 299.792.458 ^m/_s – Lichtgeschwindigkeit
λ – Wellenlänge in [m] der entsprechenden Emissionslinie

Bei der dritten Quelle liegen die Photonenflüsse in [^erg/_{cm² s Å}] vor und können über die zu Beginn gezeigte Umrechnung, oder die eben angewandte Formel in [^Photonen/_{cm² s}] umgerechnet werden.

Für das weitere Vorgehen bei schmalbandigen Objekten kann nun eine abgewandelte Variante der Formel von Schroeder verwendet werden, bei der anstelle der Beleuchtungsstärke eines 0^m-Stern und der Flächenhelligkeit innerhalb einer bestimmten Bandbreite direkt die Photonenflussdichte eingesetzt wird.

Da über den Abbildungsmaßstab eine kleine Fläche des Himmelsausschnitts auf einen Pixel in Quadratbogensekunden abgebildet wird, darf in der Formel nicht die komplette Photonenflussdichte des Planetarischen Nebels eingesetzt werden. Die einzelnen Photonenflüsse der jeweiligen Wellenlängen müssen noch durch die Scheinbare Größe (Fläche am Himmel) des Nebels dividiert werden, da immer nur ein kleiner Ausschnitt des Nebels mit einem Pixel betrachtet wird. Es sei darauf hingewiesen, dass hierbei eine starke Vereinfachung vorgenommen wird, da durch ein einfaches Dividieren durch die Fläche angenommen wird, dass der Nebel die Photonen konstant verteilt über die gesamte Fläche emittiert. (Quelle: Fachliche Diskussion mit Frank (freestar8n) vom Forum Cloudy Nights)

wobei:

S – erzeugte Elektronen in [^e-/_{Pixel s}]
F_λ – Photonenflussdichte in der entsprechenden Wellenlänge in [^Photonen/_{cm² s}]
A_obj – Scheinbare Größe (Fläche am Himmel) des Objekts in arcsec²
T – Transmissionsfaktor der Atmosphäre und der Optik (Linsen- und Spiegelflächen sowie Filtertransmission)
QE – Quanteneffizienz der Kamera im entsprechenden Frequenzband (aus Datenblatt)
g – Verstärkungsfaktor
ε – Obstruktion des Teleskops in [^%/₁₀₀]
D – Teleskopöffnung in [cm]
P – Pixelgröße des Chips in [µm]
f – Brennweite des Teleskops in [mm]

Beim Transmissionsfaktor für die Atmosphäre wird immer derjenige verwendet, bei dem der jeweilige Filter besonders „effektiv“ ist.

HeII-Filter           ➔ T_Atm aus B-Band
Hβ-Filter             ➔ T_Atm aus B-Band
OIII-Filter            ➔ T_Atm aus V-Band
HeI-Filter            ➔ T_Atm aus R-Band
Hα-Filter             ➔ T_Atm aus R-Band
NII-Filter             ➔ T_Atm aus R-Band
SII-Filter             ➔ T_Atm aus R-Band

Zusammenfassung der Vorgehensweise für schmalbandige Objekte:

1)   Berechnung der Elektronen des Himmelhintergrunds mit folgender Formel:

wobei für m_H der Wert der Flächenhelligkeit der Lichtverschmutzung eingesetzt wird.
Bei den Werten für das Himmelsleuchten von https://www.lightpollutionmap.info, durchquert das Licht nicht mehr die Atmosphäre (https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0108052). Daher spielt in der Formel für ‚T‘ nur noch die Transmission der Optik eine Rolle.
Es werden hierbei für N₀ die Werte des Frequenzbandes eingesetzt, bei denen der Filter besonders „effektiv“ ist.

HeII-Filter           ➔ T_Atm aus B-Band (dieses Mal nicht multipliziert mit 1,2, weil nur eine sehr schmale Bandbreite betrachtet wird)
Hβ-Filter             ➔ T_Atm aus B-Band (dieses Mal nicht multipliziert mit 1,2, weil nur eine sehr schmale Bandbreite betrachtet wird)
OIII-Filter            ➔ T_Atm aus V-Band
HeI-Filter            ➔ T_Atm aus R-Band
Hα-Filter             ➔ T_Atm aus R-Band
NII-Filter             ➔ T_Atm aus R-Band
SII-Filter             ➔ T_Atm aus R-Band

2)   Berechnung der Objektelektronen mit folgender Formel:

wobei F_λ für einen Emissionsnebel über die folgende Formel abgeschätzt wird:

Für einen Planetarischen Nebel werden die Photonenflussdichten aus den Datenbanken verwendet und über folgende Formeln in [^Photonen/_{cm² s}] umgerechnet:

Die Photonenflussdichten von Hα und NII liegen so dicht beieinander, dass sie meist gleichzeitig von einem Schmalbandfilter (>4 nm) durchgelassen werden, was bei der Berechnung berücksichtigt werden muss.

3)   Einsetzen der Elektronenzahl des Himmelhintergrunds von 1) in folgende Formel, um die Belichtungszeit für hintergrundlimitierte Aufnahmen zu ermitteln:

4)   Berechnung der benötigten Bilderanzahl für hintergrundlimitierte Aufnahmen und vorgegebenen SNR, wenn S_H, S_P und t_h in folgende Formel eingesetzt werden:

5)   Überprüfung, ob bei der verwendeten Verstärkung und hintergrundlimitierter Belichtungszeit die Full Well Capacity überschritten wurde:

Beispiel 3): Messier 8 (Lagunennebel) mit einem Refraktor und einer Monokamera mit 12 nm-Filter
Beispiel 4): Messier 8 (Lagunennebel) mit einem Refraktor und einer Farbkamera (OSC) mit Duo Narrowband-Filter für OIII und Hα (2x7 nm) und erhöhter Verstärkung
Beispiel 5): Abell 21 (Planetarischer Nebel) mit einem SC und einer Monokamera mit 12 nm-Filter

Die Grundlagen dieses Kapitels wurden in einem Berechnungstool umgesetzt, welches unter dem Abschnitt ‚Tools‘ aufgerufen werden kann.