Abbildungsmaßstab des Teleskops / Nyquist-Shannon-Abtasttheorem
Der Abbildungsmaßstab gibt eine Aussage darüber, wieviel Himmelsauschnitt (in Bogensekunden) auf einem Pixel dargestellt werden können.
Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem kommt aus der Signal- und Regelungstechnik und besagt grob, dass eine analoge Frequenz f (in diesem Fall das Objektsignal) digital mit einer Frequenz von größer als 2*f abgetastet werden muss, um das Ausgangsignal exakt rekonstruieren zu können.
Der theoretisch auf einem Pixel abgebildete Himmelsausschnitt muss also nicht mit einem, sondern mit zwei Pixeln abgetastet werden. Anders ausgedrückt, muss das Auflösungsvermögen doppelt so gut sein.
Der Abbildungsmaßstab des Teleskop-Kamera-System ergibt sich aus folgendem Zusammenhang:
Aus der Trigonometrie (https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie) ergibt sich:
β – Winkel des Abbildungsmaßstabs
P – Pixelgröße in [mm]
f – Brennweite des Teleskops in [mm]
Durch die Definition des Bogenmaßes gilt folgender Zusammenhang:
Die Größe des Winkels (im Bogenmaß) ist gleich dem Verhältnis der Bogenlänge ‚s‘ zum Kreisradius ‚f‘. (https://en.wikipedia.org/wiki/Radian)
Da die Pixelgröße ‚P‘ (die durch ihren sehr kleinen Wert näherungsweise der Bogenlänge ‚s‘ entspricht) und somit der Winkel ‚β‘ sehr klein sind, kann die Kleinwinkelnäherung (https://en.wikipedia.org/wiki/Small-angle_approximation) angewandt werden. Diese sagt aus, dass kleine Winkel der trigonometrischen tan-Funktionen näherungsweise dem Winkel im Bogenmaß entsprechen, was durch die Verknüpfung der beiden oberen Formeln veranschaulicht werden kann:
Dadurch kann auf die tan-Funktion verzichtet werden, wodurch sich die Formel vereinfacht:
β – Abbildungsmaßstabs in [rad]
P – Pixelgröße in [mm]
f – Brennweite des Teleskops in [mm]
Um einen Wert in Bogensekunden zu erhalten und die Pixelgröße in µm eingeben zu können, muss die Formel entsprechend umgewandelt werden:
β – Abbildungsmaßstabs in ["]
P – Pixelgröße in [µm]
f – Brennweite des Teleskops in [mm]
In Deutschland herrscht ein FWHM von 2“ – 4“. Damit die durch Seeing „aufgeblähten“ Beugungsscheibchen immer mit zwei Pixeln abgetastet werden können, muss das Auflösungsvermögen β also zwischen 1“ – 2“ liegen. In der Astrofotografie wird der kleinere Wert oft mit drei Pixeln abgetastet, so dass für diesen FWHM ein Wertebereich von 0,67“ – 2“ zur Anwendung kommt.
Eine geeignete Kombination aus Teleskop und Kamera kann über das Berechnungstool ‚Deep Sky Fotografie‘ im Menüpunkt ‚Tools‘ ermittelt werden.